תוכן העניינים
\(\:\)עקרונות מנחים לכתיבת פקודותMacros LatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"
- כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
- כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
- הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
- על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר.
לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות. - כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
- לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKind}{\text{Ind}}\)אינדקס ליפוף. מרוכבות.
\(\newcommand{\MKres}{\text{Res}}\)שארית (residue). מרוכבות.
\(\:\)אינפי', יריעות ופונקציונלית\(\:\)
\(\newcommand{\MKarsinh}{\text{arsinh}}\)סינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKarcosh}{\text{arcosh}}\)קוסינוס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKartanh}{\text{artanh}}\)טנגנס היפרבולי הפוך, אינפי'.
\(\newcommand{\MKar}{\text{ar}}\)יחס אורך-רוחב (aspect ratio). אינפי'.
\(\newcommand{\MKclos}{\text{Cl}}\)סגור (closure). אינפי'.
\(\newcommand{\MKdiam}{\text{diam}}\)קוטר (diameter). אינפי'.
\(\newcommand{\MKdiv}{\text{div}}\)דיברגנץ (divergence). יריעות.
\(\newcommand{\MKext}{\text{Ext}}\)חוץ (exterior). אינפי'.
\(\newcommand{\MKint}{\text{Int}}\)פנים (interior). אינפי'.
\(\newcommand{\MKop}{\text{op}}\)נורמה אופרטורית. אינפי'.
\(\newcommand{\MKvol}{\text{Vol}}\)נפח של קבוצה (volume). יריעות.
\(\newcommand{\MKsupp}{\text{Supp}}\)התומך של פונקציה (support). פונקציונלית.
\(\:\)אלגברה ליניארית ומבנים אלגבריים\(\:\)
\(\newcommand{\MKadj}{\text{adj}}\)המטריצה המצורפת (adjoint). ליניארית.
\(\newcommand{\MKaut}{\text{Aut}}\)חבורת האוטומורפיזמים. מבנים.
\(\newcommand{\MKchar}{\text{char}}\)המציין של שדה. מבנים.
\(\newcommand{\MKcor}{\text{Core}}\)הליבה של חבורה (core). מבנים.
\(\newcommand{\MKend}{\text{End}}\)קבוצת האנדומורפיזמים. ליניאריתומבנים.
\(\newcommand{\MKfix}{\text{Fix}}\)קבוצת נקודות השבת של פונקציה או איבר בחבורה. מבנים.
\(\newcommand{\MKgal}{\text{Gal}}\)חבורת גלואה של הרחבת שדות. מבנים.
\(\newcommand{\MKgl}{\text{GL}}\)חבורת המטריצות ההפיכות. מבנים.
\(\newcommand{\MKhom}{\text{Hom}}\)קבוצת ההומומורפיזמים. ליניאריתומבנים.
\(\newcommand{\MKinn}{\text{Inn}}\)חבורת האוטומורפיזמים הפנימיים (inner). מבנים.
\(\newcommand{\MKnull}{\text{null}}\)דרגת האפסיות של העתקה. ליניארית.
\(\newcommand{\MKorth}{\text{O}}\)חבורת המטריצות האורתוגונליות.
\(\newcommand{\MKout}{\text{Out}}\)חבורת האוטומורפיזמים החיצוניים (outer). מבנים.
\(\newcommand{\MKrank}{\text{rk}}\)דרגה של מטריצה/העתקה. ליניארית.
\(\newcommand{\MKsep}{\text{sep}}\)משמש לסימון הסגור הספרבילי של שדה. מבנים.
\(\newcommand{\MKsl}{\text{SL}}\)חבורת המטריצות בעלות דטרמיננטה\(1\). ליניארית ומבנים.
\(\newcommand{\MKso}{\text{SO}}\)חבורת המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה \(1\). ליניארית.
\(\newcommand{\MKsu}{\text{SU}}\)חבורת המטריצות האוניטריות בעלות דטרמיננטה \(1\). ליניארית.
\(\newcommand{\MKspan}{\text{span}}\)פרוש. ליניארית.
\(\newcommand{\MKtrace}{\text{tr}}\)עקבה (trace). ליניארית.
\(\:\)תורת הקבוצות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcupdot}{\mathbin{\cupdot}}\)איחוד זרתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\mathbin{\bigcupdot}}\)איחוד זר גדולתודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdom}{\text{dom}}\)תחום ההגדרה של פונקציה (domain). קבוצות.
\(\newcommand{\MKrng}{\text{rng}}\)הטווח של פונקציה (range). קבוצות.
\(\renewcommand{\MKim}{\text{Im}}\)תמונה של פונקציה.מופיע גם כחלק מדומה של מספר מרוכב.
\(\newcommand{\MKsequ}{\text{Seq}}\)קבוצת הסדרות הסופיות של איברים מתוך קבוצה נתונה.
\(\:\)תורת ההסתברות\(\:\)
\(\newcommand{\MKalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{=}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKsmallalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{\leq}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKgreatalmsur}{\overset{\text{a.s.}}{\geq}}\)שוויון בין משתנים מקריים כמעט תמיד (almost surely).
\(\newcommand{\MKvar}{\text{Var}}\)שונות (variance).
\(\newcommand{\MKcovar}{\text{Cov}}\)שונות (co-variance).
\(\newcommand{\MKdist}{\overset{\text{d}}{=}}\)שוויון התפלגויות (distributions) בין משתנים מקריים.
\(\newcommand{\MKber}{\text{Ber}}\)התפלגות ברנולי.
\(\newcommand{\MKunif}{\text{Unif}}\)התפלגות אחידה.
\(\newcommand{\MKgeo}{\text{Geo}}\)התפלגות גאומטרית.
\(\newcommand{\MKbin}{\text{Bin}}\)התפלגות בינומית.
\(\newcommand{\MKpoi}{\text{Poi}}\)התפלגות פואסון.
\(\newcommand{\MKhypergeo}{\text{HG}}\)התפלגות היפר-גאומטרית.
\(\:\)שונותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKnotequiv}{\not\equiv}\)
\(\newcommand{\MKtickmark}{\textcolor{green}{\checkmark}}\)
\(\newcommand{\MKxmark}{{\color{red}\boldsymbol{\times}}}\)
\(\:\)מדעי המחשב\(\:\)
\(\newcommand{\MKdin}{d_{\text{in}}}\)דרגת הכניסה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.
\(\newcommand{\MKdout}{d_{\text{out}}}\)דרגת היציאה של קודקוד. דיסקרטית ודאסט.
\(\newcommand{\MKfalse}{\text{False}}\)ערך שקר של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.
\(\renewcommand{\MKnull}{\text{null}}\)ערךnull. דאסט.
\(\newcommand{\MKtrue}{\text{True}}\)ערך אמת של פסוק. דיסקרטית ואינטרו.
\(\:\)פיזיקה\(\:\)
\(\newcommand{\MKtot}{\text{tot}}\)קיצור שלtotal, מכניקה.
\(\renewcommand{\MKext}{\text{ext}}\)קיצור שלexternal, מכניקה.
\(\newcommand{\MKconst}{\text{Const}}\)קיצור שלconstant, מכניקה.
\(\newcommand{\MKeff}{\text{eff}}\)קיצור שלeffective, מכניקה.
\(\:\)מספרים שלמים\(\:\)
\(\newcommand{\MKeven}{\text{Even}}\)קבוצת הזוגיים
\(\newcommand{\MKodd}{\text{Odd}}\)קבוצת האי-זוגיים
\(\newcommand{\MKprime}{\text{Prime}}\)קבוצת הראשוניים. תורת המספרים.
\(\:\)פונקציות שונות\(\:\)
\(\newcommand{\MKid}{\text{Id}}\)פונקציית הזהות.
\(\newcommand{\MKlcm}{\text{lcm}}\)כפולה משותפת מינימלית
\(\newcommand{\MKord}{\text{Ord}}\)סדר (order). תורת המספרים.
\(\newcommand{\MKsign}{\text{sgn}}\)פונקציית הסימן
\(\:\)גופניםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)גופןmathbb: הטבעיים, השלמים. הרציונליים. הממשיים. המרוכבים ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKbba}{\mathbb{A}}\)
\(\newcommand{\MKbbb}{\mathbb{B}}\)
\(\newcommand{\MKcomplex}{\mathbb{C}}\)המספרים המרוכבים
\(\newcommand{\MKbbd}{\mathbb{D}}\)
\(\newcommand{\MKbbe}{\mathbb{E}}\)
\(\newcommand{\MKfield}{\mathbb{F}}\)שדה
\(\newcommand{\MKbbg}{\mathbb{G}}\)
\(\newcommand{\MKbbh}{\mathbb{H}}\)
\(\newcommand{\MKbbi}{\mathbb{I}}\)
\(\newcommand{\MKbbj}{\mathbb{J}}\)
\(\newcommand{\MKbbk}{\mathbb{K}}\)
\(\newcommand{\MKbbl}{\mathbb{L}}\)
\(\newcommand{\MKbbm}{\mathbb{M}}\)
\(\newcommand{\MKnatural}{\mathbb{N}}\)המספרים הטבעיים
\(\newcommand{\MKbbo}{\mathbb{O}}\)
\(\newcommand{\MKbbp}{\mathbb{P}}\)
\(\newcommand{\MKrational}{\mathbb{Q}}\)המספרים הרציונליים
\(\newcommand{\MKreal}{\mathbb{R}}\)המספרים הממשיים
\(\newcommand{\MKbbs}{\mathbb{S}}\)
\(\newcommand{\MKbbt}{\mathbb{T}}\)
\(\newcommand{\MKbbu}{\mathbb{U}}\)
\(\newcommand{\MKbbv}{\mathbb{V}}\)
\(\newcommand{\MKbbw}{\mathbb{W}}\)
\(\newcommand{\MKbbx}{\mathbb{X}}\)
\(\newcommand{\MKbby}{\mathbb{Y}}\)
\(\newcommand{\MKinteger}{\mathbb{Z}}\)המספרים השלמים
\(\newcommand{\MKindicator}{\mathds{1}}\)פונקציה מציינת - אינדיקטור
\(\:\)גופןmathcal: בסיסים, קבוצת חזקה, העתקות גלואה, המילטוניאן ועוד\(\:\)
\(\newcommand{\MKcla}{\mathcal{A}}\)
\(\newcommand{\MKclb}{\mathcal{B}}\)
\(\newcommand{\MKclc}{\mathcal{C}}\)
\(\newcommand{\MKcld}{\mathcal{D}}\)
\(\newcommand{\MKcle}{\mathcal{E}}\)
\(\newcommand{\MKclf}{\mathcal{F}}\)
\(\newcommand{\MKclg}{\mathcal{G}}\)
\(\newcommand{\MKclh}{\mathcal{H}}\)
\(\newcommand{\MKcli}{\mathcal{I}}\)
\(\newcommand{\MKclj}{J}\)
\(\newcommand{\MKclk}{\mathcal{K}}\)
\(\newcommand{\MKcll}{\mathcal{L}}\)
\(\newcommand{\MKclm}{\mathcal{M}}\)
\(\newcommand{\MKcln}{\mathcal{N}}\)
\(\newcommand{\MKclo}{\mathcal{O}}\)
\(\newcommand{\MKclp}{\mathcal{P}}\)
\(\newcommand{\MKclq}{\mathcal{Q}}\)
\(\newcommand{\MKclr}{\mathcal{R}}\)
\(\newcommand{\MKcls}{\mathcal{S}}\)
\(\newcommand{\MKclt}{\mathcal{T}}\)
\(\newcommand{\MKclu}{\mathcal{U}}\)
\(\newcommand{\MKclv}{\mathcal{V}}\)
\(\newcommand{\MKclw}{\mathcal{W}}\)
\(\newcommand{\MKclx}{\mathcal{X}}\)
\(\newcommand{\MKcly}{\mathcal{Y}}\)
\(\newcommand{\MKclz}{\mathcal{Z}}\)
\(\:\)גופןmathscr: ?\(\:\)
\(\newcommand{\MKsrb}{\mathscr{B}}\)
\(\newcommand{\MKsrf}{\mathscr{F}}\)
\(\:\)גופןmathfrak: אותיות גותיות לעוצמות\(\:\)
\(\newcommand{\MKfka}{\mathfrak{a}}\)
\(\newcommand{\MKfkb}{\mathfrak{b}}\)
\(\newcommand{\MKfkc}{\mathfrak{c}}\)
\(\:\)כתיבת סדרות במהירותLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\newcommand{\MKseq}[3]{#1_{1}#2#1_{2}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKseqz}[3]{#1_{0}#2#1_{1}#2\ldots#2#1_{#3}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseq}[5]{#1_{1}#2#3_{1}#4#1_{2}#2#3_{2}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
\(\newcommand{\MKdseqz}[5]{#1_{0}#2#3_{0}#4#1_{1}#2#3_{1}#4\ldots#1_{#5}#2#3_{#5}}\)תודה למיכאל קלי שכתב את הפקודה.
1 קבוצות מיוחדות במרחב
1.1 הגדרות
- \(\clubsuit\)
- באופן אינטואיטיבי יש הבדל בין וקטורים (חיצים בעלי גודל וכיוון) לבין נקודות, למרות זאת מבחינה אלגברית שני האובייקטים מיוצגים באמצעות סדרת מספרים ממשיים והאיזומורפיזם ביניהן ברור כל כך שעד כה לא עסקנו בו בכלל. למרות זאת קורס זה נועד לתת לנו את האינטואיציה למרחב \(\MKreal^{n}\)1מסיבה זו חלק מן ההגדרות שנראה בקורס זה אינן פורמליות לחלוטין. ולכן אנחנו נבדיל בין נקודות לווקטורים בסימון בלבד: נסמן נקודות בסוגריים מעוגלים ואילו וקטורים סומנו בסוגריים מרובעים2כך: \(\begin{bmatrix}1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}\) ו-\(\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}\)., כמו כן לכל שתי נקודות \(P,Q\in\MKreal^{n}\) נגדיר את הווקטור \(\overrightarrow{PQ}\) כווקטור שגודלו וכיוונו הם כאלה שאם נשים את ראשיתו ב-\(P\) אזי ייגע ראשו ב-\(Q\) (מבחינה פורמלית \(\overrightarrow{PQ}\) הוא הווקטור \(Q-P\) כשהחיסור מתבצע קואורדינטה קואורדינטה, ומהגדרה מתקיים \(-\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{QP}\) ו-\(\overrightarrow{PP}=\vec{0}\)).
- סימון:
- אזכיר את הסימון שלנו מקורסי ליניארית, אנחנו מסמנים את הקואורדינטה ה-\(i\) של וקטור \(\vec{x}\in\MKreal^{n}\) ב-\(x_{i}\) ואת הקואורדינטה ה-\(ij\) של מטריצה \(A\in M_{n\times m}\left(\MKreal\right)\) ב-\(\left[A\right]_{ij}\).
- \(\clubsuit\)
- ישרים ומישורים הם מה שקראנו לו בליניארית1 בשם "ישריות" וכך מרחב הכיוונים של ישר הוא מממד \(1\) ומרחב הכיוונים של מישור הוא מממד \(2\).
- \(\clubsuit\)
- כלומר שני מישורים הם מקבילים אם"ם מרחבי הכיוונים שלהם זהים.
- \(\clubsuit\)
- ניתן לתת הגדרה דומה לכל סוג של ישריות בכל מרחב שהוא.
- \(\clubsuit\)
- הצגה זו נקראת ההצגה הסתומה של הישר (בניגוד להצגה הפרמטרית ע"י נקודה ווקטור), ניתן לעבור מהצגה להצגה באמצעות הנוסחאות הבאות:\[\begin{align*} {\color{red}\left\{ \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}\in\MKreal^{2}\mid ax+by+c=0,\ b\neq0\right\} } & =\left\{ \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}\in\MKreal^{2}\mid y=-\frac{ax+c}{b}\right\} {\color{red}=\left\{ \begin{pmatrix}0\\ \frac{-c}{b} \end{pmatrix}+t\cdot\begin{bmatrix}1\\ -\frac{a}{b} \end{bmatrix}\mid t\in\MKreal\right\} }\\ {\color{red}\left\{ \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}\in\MKreal^{2}\mid ax+by+c=0,\ a\neq0\right\} } & =\left\{ \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}\in\MKreal^{2}\mid x=-\frac{by+c}{a}\right\} {\color{red}=\left\{ \begin{pmatrix}\frac{-c}{a}\\ 0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{bmatrix}-\frac{b}{a}\\ 1 \end{bmatrix}\mid t\in\MKreal\right\} } \end{align*}\]\[\begin{align*} {\color{red}\left\{ \begin{pmatrix}a\\ b \end{pmatrix}+t\cdot\begin{bmatrix}c\\ d \end{bmatrix}\mid t\in\MKreal,\ c\neq0\right\} } & =\left\{ \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}\in\MKreal^{2}\mid y=\frac{d}{c}\cdot x+\left(b-\frac{ad}{c}\right)\right\} {\color{red}=\left\{ \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}\in\MKreal^{2}\mid dx-cy+\left(cb-ad\right)=0\right\} }\\ {\color{red}\left\{ \begin{pmatrix}a\\ b \end{pmatrix}+t\cdot\begin{bmatrix}c\\ d \end{bmatrix}\mid t\in\MKreal,\ c=0\right\} } & =\left\{ \begin{pmatrix}a\\ y \end{pmatrix}\in\MKreal^{2}\right\} =\left\{ \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}\in\MKreal^{2}\mid x+0\cdot y-a=0\right\} {\color{red}=\left\{ \begin{pmatrix}x\\ y \end{pmatrix}\in\MKreal^{2}\mid dx-cy+\left(cb-ad\right)=0\right\} } \end{align*}\]
- \(\clubsuit\)
- באופן כללי (וכפי שראינו בליניארית1) כדי לאפיין ישריה3כך קראנו אז תת-מרחב ש"הוזז" מראשית הצירים, כלומר לישרים, מישורים וכאלה מממד גבוה יותר שאינם עוברים בראשית הצירים ולכן אינם מהווים תתי-מרחבים. שמרחב הכיוונים שלה הוא מממד \(m\) בתוך מרחב \(\MKreal^{n}\) (\(m\leq n\)) יש צורך בנקודה ו-\(m\) וקטורים או ב-\(n-m\) משוואות ליניאריות ב-\(n\) נעלמים (הצגה מהצורה הראשונה נקראת הצגה פרמטרית והצגה מהצורה השנייה נקראת הצגה סתומה).
- \(\clubsuit\)
- למעשה לכל \(P,\vec{v_{1}},\vec{v_{2}},\ldots,\vec{v_{r}},Q,\vec{w_{1}},\vec{w_{2}},\ldots,\vec{w_{r}}\in\MKreal^{n}\) המקיימים \(\MKspan\left(\vec{v_{1}},\vec{v_{2}},\ldots,\vec{v_{r}}\right)=\MKspan\left(\vec{w_{1}},\vec{w_{2}},\ldots,\vec{w_{r}}\right)\)
ו-\(Q\in\left\{ P+\sum_{i=1}^{r}a_{i}\cdot v_{i}\mid a_{1},a_{2},\ldots,a_{r}\in\MKreal\right\} \) מתקיים:\[\begin{align*} \left\{ Q\right\} +\MKspan\left(\vec{w_{1}},\vec{w_{2}},\ldots,\vec{w_{r}}\right) & =\left\{ Q+\sum_{i=1}^{r}b_{i}\cdot w_{i}\mid b_{1},b_{2},\ldots,b_{r}\in\MKreal\right\} \\ & =\left\{ P+\sum_{i=1}^{r}a_{i}\cdot v_{i}\mid a_{1},a_{2},\ldots,a_{r}\in\MKreal\right\} \\ & =\left\{ P\right\} +\MKspan\left(\vec{v_{1}},\vec{v_{2}},\ldots,\vec{v_{r}}\right) \end{align*}\]
הגדרה 1.1. יהיו \(\vec{0}\neq\vec{v}\in\MKreal^{n}\) וקטור ו-\(P\in\MKreal^{n}\) נקודה, תת-הקבוצה \(\left\{ P+t\cdot\vec{v}\mid t\in\MKreal\right\} \) נקראת הישר העובר דרך \(P\) בכיוון הווקטור \(\vec{v}\) (תת-קבוצה \(L\subseteq\MKreal^{n}\) תקרא ישר אם קיימים \(\vec{v}\) ו-\(P\) כך ש-\(L=\left\{ P+t\cdot\vec{v}\mid t\in\MKreal\right\} \)).
הגדרה 1.2. תת-קבוצה \(M\subseteq\MKreal^{n}\) תקרא מישור אם קיימים נקודה \(P\in\MKreal^{n}\) ושני וקטורים בת"ל \(\vec{v},\vec{w}\in\MKreal^{n}\) כך שמתקיים
\(M=\left\{ P+s\cdot\vec{v}+t\cdot\vec{w}\mid s,t\in\MKreal\right\} \).
\(M=\left\{ P+s\cdot\vec{v}+t\cdot\vec{w}\mid s,t\in\MKreal\right\} \).
הגדרה 1.3. נאמר שנקודות \(P_{1},P_{2},\ldots P_{k}\in\MKreal^{n}\) הן קו-מישוריות אם קיים מישור \(M\subseteq\MKreal^{k}\) כך ש-\(P_{1},P_{2},\ldots P_{k}\in M\).
הגדרה 1.4. נאמר ששני מישורים \(M_{1},M_{2}\subseteq\MKreal^{3}\) מקבילים ונסמן \(M_{1}\parallel M_{2}\) אם קיימים \(P_{1},P_{2},\vec{v_{1}},\vec{w_{1}}\vec{v_{2}},\vec{w_{2}}\in\MKreal^{3}\) כך שההצגות הפרמטריות שלהם הן:\[\begin{align*}
M_{1} & =\left\{ P_{1}+s\cdot\vec{v_{1}}+t\cdot\vec{w_{1}}\mid s,t\in\MKreal\right\} \\
M_{2} & =\left\{ P_{2}+s\cdot\vec{v_{2}}+t\cdot\vec{w_{2}}\mid s,t\in\MKreal\right\}
\end{align*}\]ובנוסף מתקיים \(\MKspan\left\{ \vec{v_{1}},\vec{w_{1}}\right\} =\MKspan\left\{ \vec{v_{2}},\vec{w_{2}}\right\} \).
טענה 1.5. יהי \(L:=\left\{ P+t\cdot\vec{v}\mid t\in\MKreal\right\} \subseteq\MKreal^{n}\) ישר, לכל \(P'\in L\) ולכל \(\vec{w}\in\MKreal^{n}\) כך ש-\(\MKspan\left(\vec{w}\right)=\MKspan\left(\vec{v}\right)\)4כלומר \(\vec{w}\neq\vec{0}\) ותלוי ליניארית ב-\(\vec{v}\), הסיבה לניסוח היא הטענה המקבילה למישורים. מתקיים \(\left\{ P'+t\cdot\vec{w}\mid t\in\MKreal\right\} =L\).
משפט 1.6. תהא \(L\subseteq\MKreal^{2}\) קבוצת נקודות במישור, \(L\) הוא ישר אם"ם קיימים \(a,b,c\in\MKreal\) המקיימים \(a\neq0\) או ש-\(b\neq0\) כך שמתקיים \(L=\left\{ \begin{pmatrix}x\\
y
\end{pmatrix}\in\MKreal^{2}\mid ax+by+c=0\right\} \).
טענה 1.7. יהי \(M:=\left\{ P+s\cdot\vec{v}+t\cdot\vec{w}\mid s,t\in\MKreal\right\} \subseteq\MKreal^{n}\) מישור, לכל \(P'\in M\) ולכל \(\vec{x},\vec{y}\in\MKreal^{n}\) כך ש-\(\MKspan\left(\vec{x},\vec{y}\right)=\MKspan\left(\vec{v},\vec{w}\right)\) מתקיים \(\left\{ P'+s\cdot\vec{x}+t\cdot\vec{y}\mid s,t\in\MKreal\right\} =M\).
טענה 1.8. תהיינה \(P,Q,R,S\in\MKreal^{n}\) שונות זו מזו, נקודות אלו הן קו-מישוריות אם"ם קבוצת הווקטורים \(\left\{ \overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR},\overrightarrow{PS}\right\} \) תלויה ליניארית.
טענה 1.9. יהיו \(M_{1},M_{2}\subseteq\MKreal^{n}\) שני מישורים, אם הם אינם מקבילים אז \(M_{1}\cap M_{2}\) הוא ישר.
2 נורמה ומטריקה
2.1 הגדרות
הגדרה 2.1. יהי \(V\) מרחב וקטורי מעל \(\MKreal\), פונקציה \(\left\Vert \cdot\right\Vert :V\times V\rightarrow\MKreal\) תקרא נורמה אם מתקיימות שלוש התכונות הבאות (לכל \(\vec{v},\vec{w}\in V\) ו-\(c\in\MKreal\)):
- חיוביות (או חיוביות בהחלט): \(0\leq\left\Vert \vec{v}\right\Vert \), ובנוסף: \(\left\Vert \vec{v}\right\Vert =0\) אם"ם \(v=0_{V}\).
- הומוגניות (הלימה לכפל בסקלר): \(\left\Vert c\cdot\vec{v}\right\Vert =\left|c\right|\cdot\left\Vert \vec{v}\right\Vert \).
- א"ש המשולש: \(\left\Vert \vec{v}+\vec{w}\right\Vert \leq\left\Vert \vec{v}\right\Vert +\left\Vert \vec{w}\right\Vert \).
- \(\clubsuit\)
- כפי שניתן לראות נורמה היא בעצם דרך למדוד את גודלו של וקטור ובכך להגדיר את המושג "גודל של וקטור".
- \(\clubsuit\)
- מטריקה כשמה כן היא: דרך למדוד את המרחק (ולמעשה להגדיר אותו) בין שני איברים בקבוצה, דרישת החיוביות בהחלט והסימטריה הן טריוויאליות ודרישת א"ש המשולש מפרמלת אינטואיציה ברורה: הוספת "תחנה" בדרך יכולה רק להאריך אותה אך לעולם לא תקצר.
- \(\clubsuit\)
- כל נורמה מגדירה מטריקה ע"י \(d\left(\vec{v},\vec{w}\right):=\left\Vert \vec{v}-\vec{w}\right\Vert \), לעומת זאת לא כל מטריקה מגדירה נורמה, הדוגמה הקלאסית לכך היא המטריקה הדיסקרטית:\[ d\left(x,y\right):=\begin{cases} 0 & x=y\\ 1 & x\neq y \end{cases} \]
- \(\clubsuit\)
- עבור \(m=1\) מתקיים \(d_{1}=d_{2}=d_{3}=\ldots\) אך עבור ממדים גבוהים יותר \(d_{2}\) תהיה המטריקה האוקלידית המבוססת על הכללת משפט פיתגורס לממדים גבוהים יותר ואילו \(d_{1}\) תהיה "מטריקת נהגי המוניות של מנהטן".
- \(\clubsuit\)
- הסיבה לסימון "\(d_{\infty}\)" היא שלכל \(\vec{x},\vec{y}\in\MKreal^{n}\) ולכל \(k\in\MKnatural\) מתקיים \(d_{k}\left(\vec{x},\vec{y}\right)\geq d_{k+1}\left(\vec{x},\vec{y}\right)\) וגם \(d_{k}\left(\vec{x},\vec{y}\right)\geq d_{\infty}\left(\vec{x},\vec{y}\right)\) ובצורה קצת יותר ציורית: \(d_{1}\left(\vec{x},\vec{y}\right)\geq d_{2}\left(\vec{x},\vec{y}\right)\geq d_{3}\left(\vec{x},\vec{y}\right)\geq\ldots\geq d_{\infty}\left(\vec{x},\vec{y}\right)\).
- \(\clubsuit\)
- למעשה מתקיים הרבה יותר מזה: לכל \(n,k\in\MKnatural\) ולכל \(P,Q\in\MKreal^{n}\) מתקיים \(d_{\infty}\left(P,Q\right)\leq d_{k}\left(P,Q\right)\leq\sqrt[k]{n}\cdot d_{\infty}\left(P,Q\right)\) וזו הסיבה לכך שהגדרת הגבול ב-\(\MKreal^{n}\) לא תבדיל בין המטריקות מהסדרה \(\left(d_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\), כלומר אם עבור אחת מהן קיים הגבול וזה ערכו כך יהיה עבור כל האחרות.
הגדרה 2.2. \(V\) ייקרא מרחב נורמי אם ניתן להגדיר עליו נורמה.
הגדרה 2.3. תהא \(A\) קבוצה, פונקציה \(d:A\times A\rightarrow\MKreal\) תקרא מטריקה אם מתקיימות שלושת התכונות הבאות (לכל \(x,y,z\in A\)):
- חיוביות בהחלט - \(d\left(x,y\right)\geq0\), ובנוסף: \(d\left(x,y\right)=0\) אם"ם \(x=y\).
- סימטריה - \(d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)\).
- א"ש המשולש - \(d\left(x,z\right)\leq d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right)\).
הגדרה 2.4. ישנה סדרה קלאסית של מטריקות על המרחב האוקלידי \(\MKreal^{n}\) המסומנת ב-\(\left(d_{k}\right)_{k=1}^{\infty}\) ומוגדרת ע"י (לכל \(x,y\in\MKreal^{n}\)):\[
d_{k}\left(x,y\right):=\sqrt[k]{\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{k}}
\]
הגדרה 2.5. קיימת מטריקה נוספת "בסדרה" המוגדרת ע"י:\[
d_{\infty}\left(x,y\right):=\max\left\{ \left|x_{i}-y_{i}\right|:n\geq i\in\MKnatural\right\}
\]
הגדרה 2.6. יהי \(V\) מרחב נורמי ותהא \(\left\Vert \cdot\right\Vert :V\times V\rightarrow\MKreal\) נורמה על \(V\), נאמר שווקטור \(\vec{v}\in V\) הוא וקטור יחידה אם \(\left\Vert \vec{v}\right\Vert =1\).
משפט 2.7. לכל \(n\in\MKnatural\) ולכל \(P,Q\in\MKreal^{n}\) מתקיים:
- \(d_{\infty}\left(P,Q\right)\leq d_{2}\left(P,Q\right)\leq\sqrt{k}\cdot d_{\infty}\left(P,Q\right)\).
- \(d_{2}\left(P,Q\right)\leq d_{1}\left(P,Q\right)\leq\sqrt{k}\cdot d_{2}\left(P,Q\right)\).
טענה 2.8. לכל שתי מטריקות \(d\) ו-\(d'\) על \(\MKreal^{k}\) השייכות לסדרת המטריקות \(\left(d_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) (כולל \(d_{\infty}\)) ולכל \(0<r\in\MKreal\) קיים \(0<r'\in\MKreal\) כך שמתקיים:\[
\left\{ P\in\MKreal^{k}\mid d'\left(P,P_{0}\right)<r'\right\} \subseteq\left\{ P\in\MKreal^{k}\mid d\left(P,P_{0}\right)<r\right\}
\]
\(\:\)
3 המכפלה הסקלרית
3.1 הגדרות
מפרק זה והלאה (כל עוד לא נאמר אחרת) אנו עוסקים בנורמה ובמטריקה האוקלידיות.
- \(\clubsuit\)
- מומלץ מאד לצפות בסרטונים שלובפרט בסרטון שלו על המכפלה הסקלרית.
- \(\clubsuit\)
- ההגדרה תופסת גם כאשר \(\vec{v}=\vec{0}\) ו/או \(\vec{w}=\vec{0}\)משום שאז \(\left\Vert \vec{v}\right\Vert =0\) ו/או \(\left\Vert \vec{w}\right\Vert =0\) (בהתאמה) ולכן לכל ערך של \(\theta\) נקבל \(\vec{v}\cdot\vec{w}=0\).
- \(\clubsuit\)
- נשים לב לכך שההיטל של \(\vec{w}\) על \(\vec{v}\) הוא בדיוק:\[ \text{Proj}_{\vec{v}}\left(\vec{w}\right):=\left(\frac{\left\Vert \vec{w}\right\Vert \cdot\cos\theta}{\left\Vert \vec{v}\right\Vert }\right)\cdot\vec{v}=\left(\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\left\Vert \vec{v}\right\Vert ^{2}}\right)\cdot\vec{v} \]ולהפך, ההיטל של \(\vec{v}\) על \(\vec{w}\) הוא בדיוק:\[ \text{Proj}_{\vec{w}}\left(\vec{v}\right):=\left(\frac{\left\Vert \vec{v}\right\Vert \cdot\cos\theta}{\left\Vert \vec{w}\right\Vert }\right)\cdot\vec{w}=\left(\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\left\Vert \vec{w}\right\Vert ^{2}}\right)\cdot\vec{w} \]כמובן שההטלות בכיוון הניצב הן בדיוק \(\vec{w}-\text{Proj}_{\vec{v}}\left(\vec{w}\right)\) (ההיטל של \(\vec{w}\) בכיוון הניצב ל-\(\vec{v}\)) ו-\(\vec{v}-\text{Proj}_{\vec{w}}\left(\vec{v}\right)\) (ההיטל של \(\vec{v}\) בכיוון הניצב ל-\(\vec{w}\)).
- \(\clubsuit\)
- כן, וקטור האפס ניצב לכל וקטור אחר.
- \(\clubsuit\)
- מהגדרת המכפלה הסקלרית ומהחיוביות של הנורמה נובע שאם \(\vec{v}\) ו-\(\vec{w}\) שונים מ-\(\vec{0}\) אז \(\vec{v}\perp\vec{w}\Longleftrightarrow\theta=\frac{\pi}{2}\).
- \(\clubsuit\)
- מומלץ מאד לצפות בסרטונים שלובפרט בסרטון שלו על המכפלה הסקלרית.
- \(\clubsuit\)
- הליניאריות ברכיב אחד נובעת מהליניאריות ברכיב האחר ע"י הסימטריה.
- \(\clubsuit\)
- מה שהטענה אומרת בעצם הוא שהווקטור \(\begin{bmatrix}a\\ b \end{bmatrix}\) מאונך לכל אחד מן ההפרשים \(\begin{bmatrix}x\\ y \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}x_{0}\\ y_{0} \end{bmatrix}\) וכך \(\begin{bmatrix}a\\ b \end{bmatrix}\) הוא נורמל של \(L\) ונקודת החיתוך של \(L\) והישר הנפרש ע"י \(\begin{bmatrix}a\\ b \end{bmatrix}\) היא \(\begin{pmatrix}x_{0}\\ y_{0} \end{pmatrix}\), כל זה לא אמור להפתיע אף אחד שכן השיפוע של הישר \(L\) הוא \(-\frac{a}{b}\) (בהנחה ש-\(b\neq0\)) ואילו השיפוע של הישר הנפרש ע"י \(\begin{bmatrix}a\\ b \end{bmatrix}\) הוא \(\frac{b}{a}\) וכפי שלמדנו בתיכון שני ישרים מאונכים זה לזה אם"ם מכפלת השיפועים שלהם היא \(-1\).
הגדרה 3.1. יהיו \(\vec{v},\vec{w}\in\MKreal^{n}\) ותהא \(\theta\in\MKreal\) זווית5אנחנו לא נגדיר כאן מהי זווית בין וקטורים, באופן אינטואיטיבי \(\vec{v}\) ו-\(\vec{w}\) פורשים מישור המהווה תמ"ו של \(\MKreal^{n}\) ובמישור זה אנו מודדים את הזווית כרגיל. בין \(\vec{v}\) ל-\(\vec{w}\)6זה לא משנה באיזו זווית בוחרים מפני ש-\(\cos\left(2\pi-\theta\right)=\cos\left(-\theta\right)=\cos\left(\theta\right)\)., המכפלה הסקלרית של \(\vec{v}\) ו-\(\vec{w}\) היא:\[
\vec{v}\cdot\vec{w}:=\left\Vert \vec{v}\right\Vert \cdot\left\Vert \vec{w}\right\Vert \cdot\cos\theta
\]
מסקנה 3.2. לכל \(\vec{v}\in\MKreal^{n}\) מתקיים \(\left\Vert \vec{v}\right\Vert =\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}\).
מסקנה 3.3. א"ש קושי-שוורץ
לכל \(\vec{v},\vec{w}\in\MKreal^{n}\) מתקיים \(\vec{v}\cdot\vec{w}\leq\left\Vert \vec{v}\right\Vert \cdot\left\Vert \vec{w}\right\Vert \), ומתקיים שוויון אם"ם \(\vec{v}\) ו-\(\vec{w}\) תלויים ליניארית.
לכל \(\vec{v},\vec{w}\in\MKreal^{n}\) מתקיים \(\vec{v}\cdot\vec{w}\leq\left\Vert \vec{v}\right\Vert \cdot\left\Vert \vec{w}\right\Vert \), ומתקיים שוויון אם"ם \(\vec{v}\) ו-\(\vec{w}\) תלויים ליניארית.
מסקנה 3.4. יהיו \(\vec{0}\neq\vec{v},\vec{w}\in\MKreal^{n}\) ונסמן ב-\(\theta\) את הזווית הקטנה מבין השתיים הנוצרות ביניהם, מתקיים:\[\begin{align*}
\vec{v}\cdot\vec{w}>0 & \Longleftrightarrow0\leq\theta<\frac{\pi}{2}\\
\vec{v}\cdot\vec{w}=0 & \Longleftrightarrow\theta=\frac{\pi}{2}\\
\vec{v}\cdot\vec{w}<0 & \Longleftrightarrow\frac{\pi}{2}<\theta<\pi
\end{align*}\]
הגדרה 3.5. נאמר ששני וקטורים \(\vec{v},\vec{w}\in\MKreal^{n}\) ניצבים זה לזה אם \(\vec{v}\cdot\vec{w}=0\) ואז נסמן \(\vec{v}\perp\vec{w}\).
הגדרה 3.6. נאמר שווקטור \(\vec{0}\neq\vec{N}\in\MKreal^{2}\) ניצב לישר \(L\subseteq\MKreal^{2}\) (או ש-\(\vec{N}\) הוא נורמל של \(L\)) אם \(\vec{N}\) ניצב למרחב הכיוונים של \(L\).
מפרק זה והלאה (כל עוד לא נאמר אחרת) אנו עוסקים בנורמה ובמטריקה האוקלידיות.
משפט 3.7. שקילות אלגברית להגדרה הגאומטרית של המכפלה הסקלרית
לכל \(\vec{x},\vec{y}\in\MKreal^{n}\) מתקיים:\[ \vec{x}\cdot\vec{y}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i} \]
לכל \(\vec{x},\vec{y}\in\MKreal^{n}\) מתקיים:\[ \vec{x}\cdot\vec{y}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i} \]
מסקנה 3.8. יהיו \(\vec{0}\neq\vec{x},\vec{y}\in\MKreal^{n}\) ונסמן ב-\(\theta\) את הזווית הקטנה מבין השתיים הנוצרות ביניהם, מתקיים:\[
\theta=\arccos\left(\frac{\vec{x}\cdot\vec{y}}{\left\Vert \vec{x}\right\Vert \cdot\left\Vert \vec{y}\right\Vert }\right)
\]
טענה 3.9. תכונות של המכפלה הסקלרית:
- חיוביות (או חיוביות בהחלט) - לכל \(\vec{v}\in\MKreal^{n}\) מתקיים \(\vec{v}\cdot\vec{v}\geq0\) ובנוסף \(\vec{v}\cdot\vec{v}=0\) אם"ם \(\vec{v}=\vec{0}\).
- סימטריה - לכל \(\vec{v},\vec{w}\in\MKreal^{n}\) מתקיים \(\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{w}\cdot\vec{v}\).
- בי-ליניאריות (ליניאריות בכל רכיב) - לכל \(\vec{v},\vec{w},\vec{u}\in\MKreal^{n}\) ולכל \(c\in\MKreal\) מתקיים\[\begin{align*} \vec{v}\cdot\left(\vec{w}+\vec{u}\right) & =\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{v}\cdot\vec{u}\\ \vec{v}\cdot\left(c\cdot\vec{w}\right) & =c\cdot\left(\vec{v}\cdot\vec{w}\right)\\ \left(\vec{v}+\vec{u}\right)\cdot\vec{w} & =\vec{v}\cdot\vec{w}+\vec{u}\cdot\vec{w}\\ \left(c\cdot\vec{v}\right)\cdot\vec{w} & =c\cdot\left(\vec{v}\cdot\vec{w}\right) \end{align*}\]
טענה 3.10. יהא \(L\subseteq\MKreal^{2}\) ישר ויהיו \(a,b,c\in\MKreal\) כך ש-\(L=\left\{ \begin{pmatrix}x\\
y
\end{pmatrix}\in\MKreal^{2}\mid ax+by+c=0\right\} \), נסמן \(t:=-\frac{c}{a^{2}+b^{2}}\)7ניתן לחלק ב-\(a^{2}+b^{2}\) מפני ש-\(a\neq0\) ו/או \(b\neq0\) שהרי \(L\) הוא ישר. ובנוסף \(x_{0}:=ta\) ו-\(y_{0}:=tb\)8וכך יתקיים \(-\left(ax_{0}+bx_{0}\right)=c\). וא"כ מתקיים:\[
L=\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}x\\
y
\end{pmatrix}\in\MKreal^{2} & \begin{bmatrix}x-x_{0}\\
y-y_{0}
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}a\\
b
\end{bmatrix}=0\end{array}\right\}
\]
\(\:\)
4 המכפלה הווקטורית
4.1 הגדרות
- \(\clubsuit\)
- מומלץ מאד לצפות בסרטונים שלובפרט בסרטון שלו על המכפלה הווקטורית.
- \(\clubsuit\)
- בהינתן שני וקטורים \(\vec{a},\vec{b}\in\MKreal^{3}\) נוכל להגדיר העתקה ליניארית \(l:\MKreal^{3}\rightarrow\MKreal\) (להעתקות כאלה נתנו את השם פונקציונלים) ע"י:\[
l\begin{pmatrix}x\\
y\\
z
\end{pmatrix}:=\det\left(\left[\begin{array}{ccc}
a_{1} & b_{1} & x\\
a_{2} & b_{2} & y\\
a_{3} & b_{3} & z
\end{array}\right]\right)
\]כלומר \(l\) מחזירה לכל וקטור \(\vec{c}\in\MKreal^{3}\) את הנפח המכוון של המקבילון שמגדירה סדרת הווקטורים \(\left(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\right)\).
\(l\) הנ"ל היא פונקציונל ולכן כפי שלמדנו בליניארית2(משפט ההצגה של ריס) קיים וקטור \(\vec{v}\in\MKreal^{3}\) יחיד כך שלכל \(\vec{c}\in\MKreal^{3}\) מתקיים \(l\left(\vec{c}\right)=\vec{v}\cdot\vec{c}\), באיזה וקטור מדובר?
אתנחתא קצרה של גאומטריה: הנפח של המקבילון שמגדירים הווקטורים \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) ו-\(\vec{c}\) הוא שטח המקבילית שמגדירים \(\vec{a}\) ו-\(\vec{b}\) כפול אורך הגובה היורד מ-\(\vec{c}\) למישור שפורשים \(\vec{a}\) ו-\(\vec{b}\). כלומר הדבר היחיד שמעניין ב-\(\vec{c}\) הוא הרכיב שלו בכיוון המאונך למישור זה, ולכן ה-\(\vec{v}\) המבוקש מוכרח להיות מאונך למישור כדי שמכפלה סקלרית איתו תתייחס אך ורק לרכיב הרצוי; בנוסף אנחנו יודעים שמתקיים \(\vec{v}\cdot\vec{c}=\left\Vert \vec{v}\right\Vert \cdot\text{Proj}_{\vec{v}}\left(\vec{c}\right)\) ולכן כדי ש-\(\vec{v}\cdot\vec{c}\) יהיה שווה לנפח המקבילון הרצוי הנורמה של \(\vec{v}\) (\(\left\Vert \vec{v}\right\Vert \)) צריכה להיות שטח המקבילית שפורשים \(\vec{a}\) ו-\(\vec{b}\) שהוא בדיוק \(\left\Vert \vec{a}\right\Vert \cdot\left\Vert \vec{b}\right\Vert \cdot\left|\sin\theta\right|\) כאשר \(\theta\) היא זווית הנוצרת בין \(\vec{a}\) ל-\(\vec{b}\)9זה לא משנה באיזו זווית מדובר מפני ש-\(\left|\sin\left(2\pi-\theta\right)\right|=\left|\sin\left(-\theta\right)\right|=\left|-\sin\theta\right|=\left|\sin\theta\right|\).. עד כאן ראינו על איזה ישר היוצא מן הראשית צריך להיות \(\vec{v}\) ומהי הנורמה שלו, אבל קיימים שני וקטורים כאלה (\(\vec{v}\) ו-\(-\vec{v}\)), באיזה מהם נבחר? כאן צריך להכניס את העניין שהדטרמיננטה מחזירה נפח מכוון ולכן היחס בין \(\vec{v}\) לבין \(\vec{a}\) ו-\(\vec{b}\) צריך להיות כמו היחס של ציר ה-\(z\) לצירי ה-\(x\) וה-\(y\) בהתאמה, כלומר אם נסמן ב-\(\vec{a}\times\vec{b}\) את \(\vec{v}\) הנ"ל אז הכיוון של \(\vec{a}\times\vec{b}\) נקבע לפי כלל יד ימין (ראו איור בעמוד הבא).
מצד שני מהנוסחה המפורשת של הדטרמיננטה נובע שמתקיים10המכפלה \(\vec{c}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\) נקראת גם "מכפלה מעורבת", כלומר המכפלה המעורבת של וקטורים מחזירה את נפח המקבילון שהם מגדירים.:\[\begin{align*} \vec{c}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right) & =\begin{bmatrix}x\\ y\\ z \end{bmatrix}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)=l\begin{pmatrix}x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\det\left(\left[\begin{array}{ccc} a_{1} & b_{1} & x\\ a_{2} & b_{2} & y\\ a_{3} & b_{3} & z \end{array}\right]\right)\\ & =x\cdot\det\left(\left[\begin{array}{cc} a_{2} & b_{2}\\ a_{3} & b_{3} \end{array}\right]\right)-y\cdot\det\left(\left[\begin{array}{cc} a_{1} & b_{1}\\ a_{3} & b_{3} \end{array}\right]\right)+z\cdot\det\left(\left[\begin{array}{cc} a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \end{array}\right]\right)\\ & =x\cdot\left(a_{2}\cdot b_{3}-a_{3}\cdot b_{2}\right)+y\cdot\left(-\left(a_{1}\cdot b_{3}-a_{3}\cdot b_{1}\right)\right)+z\cdot\left(a_{1}\cdot b_{2}-a_{2}\cdot b_{1}\right) \end{align*}\]וממילא:\[ \vec{a}\times\vec{b}=\begin{bmatrix}a_{2}\cdot b_{3}-a_{3}\cdot b_{2}\\ a_{3}\cdot b_{1}-a_{1}\cdot b_{3}\\ a_{1}\cdot b_{2}-a_{2}\cdot b_{1} \end{bmatrix} \] - \(\clubsuit\)
- את ההסבר לקשר שבין המכפלה הווקטורית לדטרמיננטה למדתי מסרטון של3blue1brownשהיחס בין \(\vec{a}\times\vec{b}\) לבין \(\vec{a}\) ו-\(\vec{b}\) צריך להיות כמו היחס של ציר ה-\(z\) לצירי ה-\(x\) וה-\(y\) בהתאמה, וכמו כן בחירה זו מתאימה יותר לאיור של כלל יד ימין המופיע בעמוד הבא.
- מקור:
- התמונה שלעיל נלקחה מוויקישיתוף, שם נכתב שהיא מופיעה ברישיון CC BY-SA 3.0.
- \(\clubsuit\)
- ההגדרה תופסת גם כאשר \(\vec{a}=\vec{0}\) ו/או \(\vec{b}=\vec{0}\) משום שאז \(\left\Vert \vec{a}\right\Vert =0\) ו/או \(\left\Vert \vec{b}\right\Vert =0\) (בהתאמה) ולכן לכל ערך של \(\theta\) נקבל \(\left\Vert \vec{a}\times\vec{b}\right\Vert =0\) (כלומר \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\)).
- \(\clubsuit\)
- ההגדרה תקפה גם כאשר \(\vec{a}\) ו-\(\vec{b}\) תלויים ליניארית משום שאז \(\sin\theta=0\) ולכן \(\left\Vert \vec{a}\times\vec{b}\right\Vert =0\), כלומר \(\vec{a}\times\vec{b}=\vec{0}\) ואין זה משנה באיזה כיוון "נפעיל" את כלל יד ימין.
- \(\clubsuit\)
- מומלץ מאד לצפות בסרטונים שלובפרט בסרטון שלו על המכפלה הווקטורית.
- \(\clubsuit\)
- ההצגה הזו כבר קרובה מאד להצגה סתומה של המישור, צריך רק להפריד בין המשתנים לאיבר הקבוע (למען האמת הייתי עושה זאת למעלה לו היה לי מקום), כלומר אם נגדיר:\[\begin{align*} n & :=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\ m & :=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\ k & :=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\\ l & :=-\left(nx_{0}+my_{0}+kz_{0}\right) \end{align*}\]נקבל שאחת ההצגות הסתומות של המישור \(M\) היא:\[ M=\left\{ \begin{pmatrix}x\\ y\\ z \end{pmatrix}\in\MKreal^{3}\mid nx+my+kz+l=0\right\} \]
הגדרה 4.1. יהיו \(\vec{a},\vec{b}\in\MKreal^{3}\) ותהא \(\theta\in\MKreal\) זווית בין \(\vec{a}\) ל-\(\vec{b}\), המכפלה הווקטורית של \(\vec{a}\) ו-\(\vec{b}\)היא וקטור המסומן ב-\(\vec{a}\times\vec{b}\) שהנורמה שלו היא \(\left\Vert \vec{a}\right\Vert \cdot\left\Vert \vec{b}\right\Vert \cdot\left|\sin\theta\right|\) והוא מאונך למישור שפורשים \(\vec{a}\) ו-\(\vec{b}\) (כלומר הוא מאונך הן ל-\(\vec{a}\) והן ל-\(\vec{b}\)) כאשר כיוונו של הווקטור נקבע ע"פ כלל יד ימין (ראו איור למטה).
כלל יד ימין
מסקנה 4.2. לכל \(\vec{a},\vec{b}\in\MKreal^{3}\) מתקיים \(\vec{b}\times\vec{a}=-\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\).
הגדרה 4.3. נאמר שווקטור \(\vec{0}\neq\vec{N}\in\MKreal^{3}\) ניצב למישור \(M\subseteq\MKreal^{3}\) (או ש-\(\vec{N}\) הוא נורמל של \(M\)) אם \(\vec{N}\) ניצב למרחב הכיוונים של \(M\).
יהיו \(\vec{a},\vec{b}\in\MKreal^{3}\) ותהא \(\theta\in\MKreal\) זווית שביניהם.
משפט 4.4. זהות לגראנז'11ערך בוויקיפדיה ז'וזף-לואי לגראנז'.\[\begin{align*}
{\color{red}\left\Vert \vec{a}\times\vec{b}\right\Vert ^{2}} & =\left\Vert \vec{a}\right\Vert ^{2}\cdot\left\Vert \vec{b}\right\Vert ^{2}\cdot\sin^{2}\theta=\left\Vert \vec{a}\right\Vert ^{2}\cdot\left\Vert \vec{b}\right\Vert ^{2}\cdot\left(1-\cos^{2}\theta\right)\\
& =\left\Vert \vec{a}\right\Vert ^{2}\cdot\left\Vert \vec{b}\right\Vert ^{2}-\left\Vert \vec{a}\right\Vert ^{2}\cdot\left\Vert \vec{b}\right\Vert ^{2}\cdot\cos^{2}\theta\\
& {\color{red}=\left\Vert \vec{a}\right\Vert ^{2}\cdot\left\Vert \vec{b}\right\Vert ^{2}-\left(\vec{a}\cdot\vec{b}\right)^{2}}
\end{align*}\]
טענה 4.5. \(\:\)\[
\vec{a}\times\vec{b}=\begin{bmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{bmatrix}
\]
טענה 4.6. יהי \(\vec{c}\in\MKreal^{3}\), מתקיים \(\vec{a}\times\left(\vec{b}+\vec{c}\right)=\vec{a}\times\vec{b}+\vec{a}\times\vec{c}\).
טענה 4.7. לכל \(t\in\MKreal\) מתקיים \(\left(t\cdot\vec{a}\right)\times\vec{b}=t\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)=\vec{a}\times\left(t\cdot\vec{b}\right)\).
תהא \(P_{0}\in\MKreal^{3}\) ויהא \(M:=\left\{ P_{0}+s\cdot\vec{a}+t\cdot\vec{b}\mid s,t\in\MKreal\right\} \) מישור.
טענה 4.8. הווקטור \(\vec{a}\times\vec{b}\) הוא נורמל של \(M\).
טענה 4.9. תהא \(P_{0}\in M\) נקודה ויהי \(\vec{N}\in\MKreal^{3}\) נורמל של \(M\), מתקיים \(\left\{ P\in\MKreal^{3}\mid\overrightarrow{P_{0}P}\perp\vec{N}\right\} =M\).
מסקנה 4.10. יהיו \(x_{0},y_{0},z_{0}\in\MKreal\) כך ש-\(P_{0}=\begin{pmatrix}x_{0}\\
y_{0}\\
z_{0}
\end{pmatrix}\), מתקיים:\[\begin{align*}
M & =\left\{ P\in\MKreal^{3}\mid\overrightarrow{P_{0}P}\perp\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\right\} =\left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}x\\
y\\
z
\end{pmatrix}\in\MKreal^{3} & \begin{bmatrix}x-x_{0}\\
y-y_{0}\\
z-z_{0}
\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\
a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\
a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}
\end{bmatrix}=0\end{array}\right\} \\
& \left\{ \begin{array}{c|c}
\begin{pmatrix}x\\
y\\
z
\end{pmatrix}\in\MKreal^{3} & \left(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\right)\left(x-x_{0}\right)+\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)\left(y-y_{0}\right)+\left(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\right)\left(z-z_{0}\right)\end{array}\right\}
\end{align*}\]